doubao-seed-2-1-pro 在「数列与递推关系」的评测结果
这是该 AI 模型在此测试用例上的详细评测结果。
基本信息
- 模型名称：doubao-seed-2-1-pro
- 用例名称：数列与递推关系
- 测试类型：文本生成
- 评测维度：数学计算
系统提示词（System Prompt）
这是给 AI 模型的背景设定和角色指令：
你是一名资深数学教师，擅长数列规律分析与基础数学推导。 回答要求： 1. 先观察数列相邻项之差，识别并清晰描述数列的规律。 2. 给出通项公式（用 n 表示第 n 项），并简要说明推导过程。 3. 按步骤计算第 10 项的值，确保每一步计算有据可查。 4. 最终答案需明确标出，格式为「第10项的值为：__」。 5. 公式书写规范，数字计算准确，表达简洁易懂。
用户提示词（User Prompt）
这是用户给 AI 模型的具体任务要求：
观察以下数列： 2, 5, 10, 17, 26, ... 请完成以下任务： 1. **找规律**：计算相邻项之差，分析差值的变化规律，并用文字描述该数列的构成规律。 2. **写通项公式**：根据规律，写出该数列第 n 项的通项公式 aₙ（n 从 1 开始）。 3. **求第10项**：利用通项公式，计算 a₁₀ 的值，并给出完整的计算过程。
任务要求
AI 模型需要满足以下要求：
- 必须通过计算逐差（相邻项之差）来发现规律，不能仅凭猜测给出答案。
- 通项公式须正确表达为关于 n 的代数式，并验证至少一项（如 a₁ 或 a₂）与原数列吻合。
- 第 10 项的计算过程须完整呈现，直接给出结果而无推导过程不得满分。
- 规律描述须准确，能体现「差值本身构成等差数列」或等价的表述。
- 最终答案需单独标出，表述清晰明确。
评测结果
综合得分
该模型在此用例的得分为：100.0 分（满分 100 分），已通过
基础难度评测结果
- 得分：100.0 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
### 1. 规律分析 首先计算数列相邻项的差值（后项减前项）： - 第2项减第1项：$5-2=3$ - 第3项减第2项：$10-5=5$ - 第4项减第3项：$17-10=7$ - 第5项减第4项：$26-17=9$ **差值规律**：得到的差值依次为3、5、7、9，是首项为3、公差为2的等差数列，即差值为从3开始的连续正奇数，每一个差值比前一个差值大2。 **数列构成规律**：数列从首项2开始，依次累加连续奇数3、5、7、9……得到后续各项；直观来看，每一项的数值等于其对应项数的平方加1。 --- ### 2. 通项公式推导 已知首项$a_1=2$，根据差值规律，当$n\geq2$时，第$n$项与第$n-1$项的差满足：$a_n - a_{n-1}=2n-1$（验证：n=2时差为$2\times2-1=3$，n=3时差为$2\times3-1=5$，与计算的差值完全匹配）。 使用累加法推导通项： 将$n=2,3,\dots,n$对应的递推式左右分别累加，左边累加后中间项相互抵消，剩余$a_n - a_1$；右边为所有相邻差的和：$3+5+7+\dots+(2n-1)$。 右边是首项为3、末项为$2n-1$、共$n-1$项的等差数列，根据等差数列求和公式： $$\text{和}=\frac{(\text{首项}+\text{末项})\times\text{项数}}{2}=\frac{(3+2n-1)\times(n-1)}{2}=n^2-1$$ 因此： $$a_n = a_1 + (n^2-1) = 2 + n^2 -1 = n^2+1$$ 验证$n=1$时，$a_1=1^2+1=2$，与首项一致，因此数列的通项公式为： $$\boldsymbol{a_n = n^2 + 1 \quad (n为正整数, n从1开始)}$$ --- ### 3. 计算第10项$a_{10}$ 根据通项公式$a_n=n^2+1$，代入$n=10$按步骤计算： 1. 计算项数对应的平方值：$10^2 = 10\times10 = 100$ 2. 代入公式计算项值：$a_{10}=100 + 1 = 101$ （递推验证：按差值规律，第6项为26+11=37，第7项为37+13=50，第8项为50+15=65，第9项为65+17=82，第10项为82+19=101，与公式计算结果一致） 第10项的值为：101
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【GEMINI】这是一份非常优秀的回答。AI 准确地执行了所有指令，不仅通过逐差法发现了数列规律，还利用累加法给出了严谨的通项公式推导过程。计算过程详尽且准确，排版规范，完全符合资深数学教师的角色设定。
进阶难度评测结果
- 得分：100.0 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
--- ### 任务一：逐项计算$a_3$至$a_8$的值 已知初始条件： $a_1 = 3$，$a_2 = 5$ 根据递推公式$a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + n$（$n\geq3$），逐项计算如下： 1. 当$n=3$时： $a_3 = a_2 + a_1 + 3 = 5 + 3 + 3 = 11$ 2. 当$n=4$时： $a_4 = a_3 + a_2 + 4 = 11 + 5 + 4 = 20$ 3. 当$n=5$时： $a_5 = a_4 + a_3 + 5 = 20 + 11 + 5 = 36$ 4. 当$n=6$时： $a_6 = a_5 + a_4 + 6 = 36 + 20 + 6 = 62$ 5. 当$n=7$时： $a_7 = a_6 + a_5 + 7 = 62 + 36 + 7 = 105$ 6. 当$n=8$时： $a_8 = a_7 + a_6 + 8 = 105 + 62 + 8 = 175$ --- ### 任务二：计算前8项和$S_8$ 前8项和为$a_1$到$a_8$的逐项累加，过程如下： $$ \begin{align*} S_8 &= a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 \\ &= 3 + 5 + 11 + 20 + 36 + 62 + 105 + 175 \\ &= 8 + 11 + 20 + 36 + 62 + 105 + 175 \\ &= 19 + 20 + 36 + 62 + 105 + 175 \\ &= 39 + 36 + 62 + 105 + 175 \\ &= 75 + 62 + 105 + 175 \\ &= 137 + 105 + 175 \\ &= 242 + 175 \\ &= 417 \end{align*} $$ --- ### 最终结果 $a_8 = \boldsymbol{175}$ $S_8 = \boldsymbol{417}$
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【GEMINI】该生成结果表现卓越。模型不仅在数学计算上做到了零失误，而且在逻辑理解和格式规范上完全超出了预期。它准确避开了递推公式中变量 n 可能带来的理解陷阱，并以极其清晰、标准的步骤展示了求解过程，是一份高质量的回答。
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